수치해석을 해보자.

수치해석이란, 간단히 말해 어떤 함수의 값이나 방정식의 해를 컴퓨터를 이용해 '근사적'으로 찾는 방법이다.

왜 실제 값이 아닌 근사값을 찾는 것일까? 사람의 손으로 못 푸는 문제들이 있기 때문이다. 예를 들어, 자동차 모양의 전도체에 전압을 걸었을 때의 전자기장의 분포를 시각화해야 한다면, 전자기장의 분포는 어떠한 미분방정식을 따를 것이나 주어진 조건이 괴이한 수준이기 때문에 계산하기 불가능하거나 엄청난 시간이 소요될 것이다. 따라서, 이러한 문제는 컴퓨터에게 맡기는 편이 낫다.

 

수치해석에는 몇 가지 방법이 있다.

 

1. 오일러 방법의 증명

형태가 알려지지 않은 미지의 곡선에 대해 계산할 때, 시작점을 알고 주어진 미분방정식을 만족한다고 가정한다. 주어진 미분방정식은 곡선의 어떤 점에서도 접선의 기울기를 구할 수 있는 식으로 생각할 수 있다. 따라서, 시작점과 어떠한 점 사이의 접선의 기울기를 구할 수 있다. 접선을 타고 조금 이동한 점이 여전히 곡선 위에 있다고 가정하면, 같은 원리를 이용해 반복할 수 있다. 이러한 과정을 반복해 미지의 곡선과 유사한 다각형 곡선을 구할 수 있다.

 

 

 

2. 룽게 쿠타 방법의 증명

4차 룽게 쿠타 방법이다. 위 방법을 단순화시키면 위의 오일러 방법이 된다. 누적 오류가 O(h^4)이므로 오일러 방법보다 오차가 h^4배 적다. 실제로 제일 많이 사용되는 방법이다.

 

다음에는 룽게 쿠타 방법을 이용해서 뭐라도 해보자.